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Sagot :
Claro, vamos a resolver estas preguntas paso a paso considerando las propiedades básicas de los intervalos.
### a. Unión de intervalos
[tex]\[ (1,6) \cup (-2,9) \][/tex]
Para encontrar la unión de estos intervalos, debemos determinar si hay superposición entre ellos. Si hay superposición, los intervalos pueden combinarse en uno solo.
1. Intervalos Dados:
- [tex]\( (1,6) \)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores entre 1 y 6, sin incluir los límites.
- [tex]\( (-2,9) \)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores entre -2 y 9, sin incluir los límites.
2. Comparación y Superposición:
- El intervalo [tex]\( (1,6) \)[/tex] está completamente contenido dentro del intervalo [tex]\( (-2,9) \)[/tex].
- Dado que [tex]\( (1,6) \subset (-2,9) \)[/tex], la unión de los dos intervalos es simplemente el intervalo más grande que los contiene a ambos.
Por lo tanto:
[tex]\[ (1,6) \cup (-2,9) = (-2,9) \][/tex]
### b. Intersección de intervalos
[tex]\[ \left[-2, \frac{6}{7}\right) \cap [0,1) \][/tex]
Para encontrar la intersección de estos intervalos, debemos identificar los puntos comunes a ambos intervalos.
1. Intervalos Dados:
- [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde -2 hasta, pero sin incluir, [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex].
- [tex]\([0,1)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde 0 hasta, pero sin incluir, 1.
2. Comparación y Superposición:
- El intervalo [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] contiene valores desde -2 hasta [tex]\( \frac{6}{7} \)[/tex].
- El intervalo [tex]\([0,1)\)[/tex] contiene valores desde 0 hasta 1.
- La intersección de estos intervalos será todos los valores comunes a ambos.
Los valores comunes están en el rango desde 0 (incluido en ambos intervalos) hasta [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex] (incluido en el primer intervalo, pero excluido del segundo intervalo).
Por lo tanto:
[tex]\[\left[-2, \frac{6}{7}\right) \cap [0,1) = [0, \frac{6}{7})\][/tex]
### c. Diferencia de intervalos
[tex]\[ \left[-2, \frac{6}{7}\right) - [0,1) \][/tex]
Para encontrar la diferencia entre estos intervalos, identificamos las partes del primer intervalo que no están en el segundo intervalo.
1. Intervalos Dados:
- [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde -2 hasta, pero sin incluir, [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex].
- [tex]\([0,1)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde 0 hasta, pero sin incluir, 1.
2. Comparación y Superposición:
- El intervalo [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] incluye valores desde -2 hasta, pero sin incluir, [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex].
- El intervalo [tex]\([0,1)\)[/tex] incluye valores desde 0 hasta, pero sin incluir, 1.
- La porción de [tex]\(-2\)[/tex] a [tex]\(0\)[/tex] en el intervalo [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] no tiene superposición con [tex]\([0,1)\)[/tex].
- La porción de [tex]\(0\)[/tex] a [tex]\(1\)[/tex] en [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] se elimina debido a la intersección con [tex]\([0,1)\)[/tex].
Por lo tanto:
[tex]\[ \left[-2, \frac{6}{7}\right) - [0,1) = [-2, 0) \][/tex]
Resumiendo, las soluciones son:
a. [tex]\( (1,6) \cup (-2,9) = (-2,9) \)[/tex]
b. [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right) \cap [0,1) = [0, \frac{6}{7}) \)[/tex]
c. [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right) - [0,1) = [-2, 0) \)[/tex]
### a. Unión de intervalos
[tex]\[ (1,6) \cup (-2,9) \][/tex]
Para encontrar la unión de estos intervalos, debemos determinar si hay superposición entre ellos. Si hay superposición, los intervalos pueden combinarse en uno solo.
1. Intervalos Dados:
- [tex]\( (1,6) \)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores entre 1 y 6, sin incluir los límites.
- [tex]\( (-2,9) \)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores entre -2 y 9, sin incluir los límites.
2. Comparación y Superposición:
- El intervalo [tex]\( (1,6) \)[/tex] está completamente contenido dentro del intervalo [tex]\( (-2,9) \)[/tex].
- Dado que [tex]\( (1,6) \subset (-2,9) \)[/tex], la unión de los dos intervalos es simplemente el intervalo más grande que los contiene a ambos.
Por lo tanto:
[tex]\[ (1,6) \cup (-2,9) = (-2,9) \][/tex]
### b. Intersección de intervalos
[tex]\[ \left[-2, \frac{6}{7}\right) \cap [0,1) \][/tex]
Para encontrar la intersección de estos intervalos, debemos identificar los puntos comunes a ambos intervalos.
1. Intervalos Dados:
- [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde -2 hasta, pero sin incluir, [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex].
- [tex]\([0,1)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde 0 hasta, pero sin incluir, 1.
2. Comparación y Superposición:
- El intervalo [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] contiene valores desde -2 hasta [tex]\( \frac{6}{7} \)[/tex].
- El intervalo [tex]\([0,1)\)[/tex] contiene valores desde 0 hasta 1.
- La intersección de estos intervalos será todos los valores comunes a ambos.
Los valores comunes están en el rango desde 0 (incluido en ambos intervalos) hasta [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex] (incluido en el primer intervalo, pero excluido del segundo intervalo).
Por lo tanto:
[tex]\[\left[-2, \frac{6}{7}\right) \cap [0,1) = [0, \frac{6}{7})\][/tex]
### c. Diferencia de intervalos
[tex]\[ \left[-2, \frac{6}{7}\right) - [0,1) \][/tex]
Para encontrar la diferencia entre estos intervalos, identificamos las partes del primer intervalo que no están en el segundo intervalo.
1. Intervalos Dados:
- [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde -2 hasta, pero sin incluir, [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex].
- [tex]\([0,1)\)[/tex]: Este intervalo incluye todos los valores desde 0 hasta, pero sin incluir, 1.
2. Comparación y Superposición:
- El intervalo [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] incluye valores desde -2 hasta, pero sin incluir, [tex]\(\frac{6}{7}\)[/tex].
- El intervalo [tex]\([0,1)\)[/tex] incluye valores desde 0 hasta, pero sin incluir, 1.
- La porción de [tex]\(-2\)[/tex] a [tex]\(0\)[/tex] en el intervalo [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] no tiene superposición con [tex]\([0,1)\)[/tex].
- La porción de [tex]\(0\)[/tex] a [tex]\(1\)[/tex] en [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right)\)[/tex] se elimina debido a la intersección con [tex]\([0,1)\)[/tex].
Por lo tanto:
[tex]\[ \left[-2, \frac{6}{7}\right) - [0,1) = [-2, 0) \][/tex]
Resumiendo, las soluciones son:
a. [tex]\( (1,6) \cup (-2,9) = (-2,9) \)[/tex]
b. [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right) \cap [0,1) = [0, \frac{6}{7}) \)[/tex]
c. [tex]\(\left[-2, \frac{6}{7}\right) - [0,1) = [-2, 0) \)[/tex]
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