Para determinar la cantidad de calor que se debe suministrar a 6 kg de hielo a [tex]\(-80^\circ \text{C}\)[/tex] para convertirlo en vapor a [tex]\(160^\circ \text{C}\)[/tex], se deben considerar los siguientes pasos y cálculos:
1. Calentar el hielo de [tex]\(-80^\circ \text{C}\)[/tex] a [tex]\(0^\circ \text{C}\)[/tex]:
- Masa ([tex]\(m\)[/tex]): 6 kg
- Temperatura inicial ([tex]\(T_i\)[/tex]): [tex]\(-80^\circ \text{C}\)[/tex]
- Temperatura final ([tex]\(T_f\)[/tex]): [tex]\(0^\circ \text{C}\)[/tex]
- Calor específico del hielo ([tex]\(c_{\text{hielo}}\)[/tex]): 0.5 kcal/kg°C
[tex]\[
Q_1 = m \cdot c_{\text{hielo}} \cdot (T_f - T_i) = 6 \, \text{kg} \times 0.5 \, \text{kcal/kg°C} \times (0 - (-80))\,^\circ \text{C} = 240 \, \text{kcal}
\][/tex]
2. Fundir el hielo a [tex]\(0^\circ \text{C}\)[/tex] para convertirlo en agua:
- Calor de fusión ([tex]\(L_f\)[/tex]): 80 kcal/kg
[tex]\[
Q_2 = m \cdot L_f = 6 \, \text{kg} \times 80 \, \text{kcal/kg} = 480 \, \text{kcal}
\][/tex]
3. Calentar el agua de [tex]\(0^\circ \text{C}\)[/tex] a [tex]\(100^\circ \text{C}\)[/tex]:
- Calor específico del agua ([tex]\(c_{\text{agua}}\)[/tex]): 1 kcal/kg°C
[tex]\[
Q_3 = m \cdot c_{\text{agua}} \cdot (T_f - T_i) = 6 \, \text{kg} \times 1 \, \text{kcal/kg°C} \times (100 - 0)\,^\circ \text{C} = 600 \, \text{kcal}
\][/tex]
4. Vaporizar el agua a [tex]\(100^\circ \text{C}\)[/tex] para convertirla en vapor:
- Calor de vaporización ([tex]\(L_v\)[/tex]): 540 kcal/kg
[tex]\[
Q_4 = m \cdot L_v = 6 \, \text{kg} \times 540 \, \text{kcal/kg} = 3240 \, \text{kcal}
\][/tex]
5. Calentar el vapor de [tex]\(100^\circ \text{C}\)[/tex] a [tex]\(160^\circ \text{C}\)[/tex]:
- Calor específico del vapor ([tex]\(c_{\text{vapor}}\)[/tex]): 0.48 kcal/kg°C
[tex]\[
Q_5 = m \cdot c_{\text{vapor}} \cdot (T_f - T_i) = 6 \, \text{kg} \times 0.48 \, \text{kcal/kg°C} \times (160 - 100)\,^\circ \text{C} = 172.8 \, \text{kcal}
\][/tex]
6. Sumar todas las cantidades de calor para obtener el calor total necesario:
[tex]\[
Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 + Q_5 = 240 \, \text{kcal} + 480 \, \text{kcal} + 600 \, \text{kcal} + 3240 \, \text{kcal} + 172.8 \, \text{kcal} = 4732.8 \, \text{kcal}
\][/tex]
Entonces, la cantidad total de calor que se necesita suministrar es [tex]\(4732.8 \, \text{kcal}\)[/tex], y de las opciones dadas, la correcta es:
b) 4740 kcal
