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Sagot :
Para determinar cuál de las expresiones dadas representa mejor los puntos en la tabla, debemos evaluar cada expresión en los valores de [tex]\( x \)[/tex] dados y comparar los resultados con los valores correspondientes de [tex]\( f(x) \)[/tex].
La tabla de puntos es:
[tex]\[ \begin{array}{cccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ f(x) & -8 & 4 & 8 & 4 & -8 \end{array} \][/tex]
Vamos a evaluar cada opción:
### Opción A: [tex]\( f(x) = -4x^2 + 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = -4(-2)^2 + 8 = -4 \cdot 4 + 8 = -16 + 8 = -8 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = -4(-1)^2 + 8 = -4 \cdot 1 + 8 = -4 + 8 = 4 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = -4(0)^2 + 8 = 0 + 8 = 8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = -4(1)^2 + 8 = -4 \cdot 1 + 8 = -4 + 8 = 4 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = -4(2)^2 + 8 = -4 \cdot 4 + 8 = -16 + 8 = -8 \)[/tex]
Los valores coinciden exactamente con los de la tabla dada. Por lo tanto, podemos decir que la expresión [tex]\( f(x) = -4x^2 + 8 \)[/tex] representa correctamente los puntos de la tabla.
### Opción B: [tex]\( f(x) = 4x^2 + 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = 4(-2)^2 + 8 = 4 \cdot 4 + 8 = 16 + 8 = 24 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = 4(-1)^2 + 8 = 4 \cdot 1 + 8 = 4 + 8 = 12 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = 4(0)^2 + 8 = 0 + 8 = 8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = 4(1)^2 + 8 = 4 \cdot 1 + 8 = 4 + 8 = 12 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = 4(2)^2 + 8 = 4 \cdot 4 + 8 = 16 + 8 = 24 \)[/tex]
Los valores no coinciden con los de la tabla dada.
### Opción C: [tex]\( f(x) = -4x^2 - 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = -4(-2)^2 - 8 = -4 \cdot 4 - 8 = -16 - 8 = -24 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = -4(-1)^2 - 8 = -4 \cdot 1 - 8 = -4 - 8 = -12 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = -4(0)^2 - 8 = 0 - 8 = -8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = -4(1)^2 - 8 = -4 \cdot 1 - 8 = -4 - 8 = -12 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = -4(2)^2 - 8 = -4 \cdot 4 - 8 = -16 - 8 = -24 \)[/tex]
Los valores no coinciden con los de la tabla dada.
### Opción D: [tex]\( f(x) = 4x^2 - 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = 4(-2)^2 - 8 = 4 \cdot 4 - 8 = 16 - 8 = 8 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = 4(-1)^2 - 8 = 4 \cdot 1 - 8 = 4 - 8 = -4 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = 4(0)^2 - 8 = 0 - 8 = -8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = 4(1)^2 - 8 = 4 \cdot 1 - 8 = 4 - 8 = -4 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = 4(2)^2 - 8 = 4 \cdot 4 - 8 = 16 - 8 = 8 \)[/tex]
Los valores no coinciden con los de la tabla dada.
Así, la expresión que mejor representa los puntos dados en la tabla es:
[tex]\[ f(x) = -4x^2 + 8 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.
La tabla de puntos es:
[tex]\[ \begin{array}{cccccc} x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ f(x) & -8 & 4 & 8 & 4 & -8 \end{array} \][/tex]
Vamos a evaluar cada opción:
### Opción A: [tex]\( f(x) = -4x^2 + 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = -4(-2)^2 + 8 = -4 \cdot 4 + 8 = -16 + 8 = -8 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = -4(-1)^2 + 8 = -4 \cdot 1 + 8 = -4 + 8 = 4 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = -4(0)^2 + 8 = 0 + 8 = 8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = -4(1)^2 + 8 = -4 \cdot 1 + 8 = -4 + 8 = 4 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = -4(2)^2 + 8 = -4 \cdot 4 + 8 = -16 + 8 = -8 \)[/tex]
Los valores coinciden exactamente con los de la tabla dada. Por lo tanto, podemos decir que la expresión [tex]\( f(x) = -4x^2 + 8 \)[/tex] representa correctamente los puntos de la tabla.
### Opción B: [tex]\( f(x) = 4x^2 + 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = 4(-2)^2 + 8 = 4 \cdot 4 + 8 = 16 + 8 = 24 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = 4(-1)^2 + 8 = 4 \cdot 1 + 8 = 4 + 8 = 12 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = 4(0)^2 + 8 = 0 + 8 = 8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = 4(1)^2 + 8 = 4 \cdot 1 + 8 = 4 + 8 = 12 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = 4(2)^2 + 8 = 4 \cdot 4 + 8 = 16 + 8 = 24 \)[/tex]
Los valores no coinciden con los de la tabla dada.
### Opción C: [tex]\( f(x) = -4x^2 - 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = -4(-2)^2 - 8 = -4 \cdot 4 - 8 = -16 - 8 = -24 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = -4(-1)^2 - 8 = -4 \cdot 1 - 8 = -4 - 8 = -12 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = -4(0)^2 - 8 = 0 - 8 = -8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = -4(1)^2 - 8 = -4 \cdot 1 - 8 = -4 - 8 = -12 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = -4(2)^2 - 8 = -4 \cdot 4 - 8 = -16 - 8 = -24 \)[/tex]
Los valores no coinciden con los de la tabla dada.
### Opción D: [tex]\( f(x) = 4x^2 - 8 \)[/tex]
1. Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]: [tex]\( f(-2) = 4(-2)^2 - 8 = 4 \cdot 4 - 8 = 16 - 8 = 8 \)[/tex]
2. Para [tex]\( x = -1 \)[/tex]: [tex]\( f(-1) = 4(-1)^2 - 8 = 4 \cdot 1 - 8 = 4 - 8 = -4 \)[/tex]
3. Para [tex]\( x = 0 \)[/tex]: [tex]\( f(0) = 4(0)^2 - 8 = 0 - 8 = -8 \)[/tex]
4. Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]: [tex]\( f(1) = 4(1)^2 - 8 = 4 \cdot 1 - 8 = 4 - 8 = -4 \)[/tex]
5. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]: [tex]\( f(2) = 4(2)^2 - 8 = 4 \cdot 4 - 8 = 16 - 8 = 8 \)[/tex]
Los valores no coinciden con los de la tabla dada.
Así, la expresión que mejor representa los puntos dados en la tabla es:
[tex]\[ f(x) = -4x^2 + 8 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción A.
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