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7. Resolva, em [tex]\(\mathbb{R}\)[/tex], as equações indicadas a seguir.

a) [tex]\(|x| = a\)[/tex]

b) [tex]\(|3x - 1| = 1\)[/tex]

c) [tex]\(\left|x^2 - 49\right| = 0\)[/tex]

d) [tex]\(|-3x + 11| = 5\)[/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
Claro, vamos resolver cada uma das equações passo a passo.

### a) [tex]\(|x|=a\)[/tex]

Aqui temos a equação modular [tex]\( |x| = a \)[/tex]. Para que isso seja verdadeiro, [tex]\( x \)[/tex] pode assumir dois valores:
1. [tex]\( x = a \)[/tex]
2. [tex]\( x = -a \)[/tex]

Logo, as soluções são:
[tex]\[ x = a \quad \text{e} \quad x = -a \][/tex]

### b) [tex]\(|3x-1|=1\)[/tex]

Para resolver [tex]\(|3x - 1| = 1\)[/tex], temos dois casos a considerar, pois a expressão dentro do módulo pode ser tanto positiva quanto negativa:

1. Caso 1: [tex]\( 3x - 1 = 1 \)[/tex]
[tex]\[ 3x - 1 = 1 \][/tex]
[tex]\[ 3x = 2 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2}{3} \][/tex]

2. Caso 2: [tex]\( 3x - 1 = -1 \)[/tex]
[tex]\[ 3x - 1 = -1 \][/tex]
[tex]\[ 3x = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = 0 \][/tex]

Logo, as soluções são:
[tex]\[ x = \frac{2}{3} \quad \text{e} \quad x = 0 \][/tex]

### c) [tex]\(\left|x^2 - 49\right|=0\)[/tex]

Para resolver [tex]\(\left|x^2 - 49\right|=0\)[/tex], primeiro observe que a única maneira de uma expressão dentro do valor absoluto ser zero é se a própria expressão for zero. Assim, devemos resolver:
[tex]\[ x^2 - 49 = 0 \][/tex]

Podemos fatorar a expressão ou reconhecer que:

[tex]\[ x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7) = 0 \][/tex]

Assim, [tex]\( x \)[/tex] pode ser:
[tex]\[ x = 7 \quad \text{ou} \quad x = -7 \][/tex]

Logo, as soluções são:
[tex]\[ x = 7 \quad \text{e} \quad x = -7 \][/tex]

### d) [tex]\(|-3x + 11|=5\)[/tex]

Para resolver [tex]\(|-3x + 11|=5\)[/tex], novamente temos dois casos a considerar:

1. Caso 1: [tex]\( -3x + 11 = 5 \)[/tex]
[tex]\[ -3x + 11 = 5 \][/tex]
[tex]\[ -3x = -6 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6}{3} \][/tex]
[tex]\[ x = 2 \][/tex]

2. Caso 2: [tex]\( -3x + 11 = -5 \)[/tex]
[tex]\[ -3x + 11 = -5 \][/tex]
[tex]\[ -3x = -16 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{16}{3} \][/tex]

Logo, as soluções são:
[tex]\[ x = 2 \quad \text{e} \quad x = \frac{16}{3} \][/tex]

Então, resumindo todas as soluções para cada equação, temos:

a)
[tex]\[ x = a \quad \text{e} \quad x = -a \][/tex]

b)
[tex]\[ x = \frac{2}{3} \quad \text{e} \quad x = 0 \][/tex]

c)
[tex]\[ x = 7 \quad \text{e} \quad x = -7 \][/tex]

d)
[tex]\[ x = 2 \quad \text{e} \quad x = \frac{16}{3} \][/tex]
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