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Sagot :
चल [tex]\( x \)[/tex] के लिए निम्नलिखित समीकरण को हल करें:
[tex]\[ \frac{3}{x + 1} + \frac{4}{x + 2} = \frac{2}{x - 1} \][/tex]
हम विभिन्न पदों को संख्यात्मक रूप से हल करने पर विचार करेंगे:
#### कदम 1: सामान्य हर (LCM) प्राप्त करें
इस प्रकार की समीकरण को हल करने के लिए, हम सबसे पहले सभी पदों का एक सामान्य हर (LCM) पाते हैं। यहाँ, [tex]\( x + 1 \)[/tex], [tex]\( x + 2 \)[/tex], और [tex]\( x - 1 \)[/tex] उनके हर बनेंगे। अतः, LCM होगा:
[tex]\[ (x + 1)(x + 2)(x - 1) \][/tex]
#### कदम 2: सभी पदों को LCM से गुणा करें
हम सभी पदों को [tex]\( (x + 1)(x + 2)(x - 1) \)[/tex] से गुणा करेंगे ताकि हर से छुटकारा मिल सके:
[tex]\[ \frac{3(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x + 2)(x - 1)} + \frac{4(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x + 2)(x - 1)} = \frac{2(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)(x - 1)} \][/tex]
#### कदम 3: सरलीकरण
गुणा और सरलीकरण से समीकरण बनेगा:
[tex]\[ 3(x + 2)(x - 1) + 4(x + 1)(x - 1) = 2(x + 1)(x + 2) \][/tex]
#### कदम 4: गुणा खोलना
हर पद को गुणा करके खोलते हैं:
[tex]\[ 3(x^2 + x - 2) + 4(x^2 - 1) = 2(x^2 + 3x + 2) \][/tex]
#### कदम 5: जोड़ और सरलीकरण
सभी पदों को कृपया जोड़ें और उन्हे रूपांतरित करें:
[tex]\[ 3x^2 + 3x - 6 + 4x^2 - 4 = 2x^2 + 6x + 4 \][/tex]
सभी [tex]\( x \)[/tex] और स्थिर पदों को लेते हैं:
[tex]\[ 7x^2 + 3x - 10 = 2x^2 + 6x + 4 \][/tex]
#### कदम 6: सभी पदों को एक तरफ लाना
सभी पदों को एक तरफ लाकर शून्य बनाने का प्रयास करते हैं:
[tex]\[ 7x^2 + 3x - 10 - 2x^2 - 6x - 4 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 5x^2 - 3x - 14 = 0 \][/tex]
#### कदम 7: मात्रात्मक गुणावली सूत्र लागू करें
गुणावली (quadratic) समीकरण को हल करने के लिए, हम [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] के लिए मात्रात्मक सूत्र [tex]\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)[/tex] का उपयोग करेंगे। यहाँ, [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -3 \)[/tex], और [tex]\( c = -14 \)[/tex] हैं:
[tex]\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(5)(-14)}}{2(5)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{10} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm 17}{10} \][/tex]
#### समाधान:
[tex]\[ x = \frac{3 + 17}{10} = \frac{20}{10} = 2 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 - 17}{10} = \frac{-14}{10} = -1.4 \][/tex]
अतः, [tex]\( x = 2 \)[/tex] और [tex]\( x = -1.4 \)[/tex] हमारी समीकरण के हल हैं।
#### अंतिम उत्तर:
[tex]\[ x = 2 \quad \text{और} \quad x = -1.4 \][/tex]
[tex]\[ \frac{3}{x + 1} + \frac{4}{x + 2} = \frac{2}{x - 1} \][/tex]
हम विभिन्न पदों को संख्यात्मक रूप से हल करने पर विचार करेंगे:
#### कदम 1: सामान्य हर (LCM) प्राप्त करें
इस प्रकार की समीकरण को हल करने के लिए, हम सबसे पहले सभी पदों का एक सामान्य हर (LCM) पाते हैं। यहाँ, [tex]\( x + 1 \)[/tex], [tex]\( x + 2 \)[/tex], और [tex]\( x - 1 \)[/tex] उनके हर बनेंगे। अतः, LCM होगा:
[tex]\[ (x + 1)(x + 2)(x - 1) \][/tex]
#### कदम 2: सभी पदों को LCM से गुणा करें
हम सभी पदों को [tex]\( (x + 1)(x + 2)(x - 1) \)[/tex] से गुणा करेंगे ताकि हर से छुटकारा मिल सके:
[tex]\[ \frac{3(x + 2)(x - 1)}{(x + 1)(x + 2)(x - 1)} + \frac{4(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x + 2)(x - 1)} = \frac{2(x + 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)(x - 1)} \][/tex]
#### कदम 3: सरलीकरण
गुणा और सरलीकरण से समीकरण बनेगा:
[tex]\[ 3(x + 2)(x - 1) + 4(x + 1)(x - 1) = 2(x + 1)(x + 2) \][/tex]
#### कदम 4: गुणा खोलना
हर पद को गुणा करके खोलते हैं:
[tex]\[ 3(x^2 + x - 2) + 4(x^2 - 1) = 2(x^2 + 3x + 2) \][/tex]
#### कदम 5: जोड़ और सरलीकरण
सभी पदों को कृपया जोड़ें और उन्हे रूपांतरित करें:
[tex]\[ 3x^2 + 3x - 6 + 4x^2 - 4 = 2x^2 + 6x + 4 \][/tex]
सभी [tex]\( x \)[/tex] और स्थिर पदों को लेते हैं:
[tex]\[ 7x^2 + 3x - 10 = 2x^2 + 6x + 4 \][/tex]
#### कदम 6: सभी पदों को एक तरफ लाना
सभी पदों को एक तरफ लाकर शून्य बनाने का प्रयास करते हैं:
[tex]\[ 7x^2 + 3x - 10 - 2x^2 - 6x - 4 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 5x^2 - 3x - 14 = 0 \][/tex]
#### कदम 7: मात्रात्मक गुणावली सूत्र लागू करें
गुणावली (quadratic) समीकरण को हल करने के लिए, हम [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] के लिए मात्रात्मक सूत्र [tex]\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)[/tex] का उपयोग करेंगे। यहाँ, [tex]\( a = 5 \)[/tex], [tex]\( b = -3 \)[/tex], और [tex]\( c = -14 \)[/tex] हैं:
[tex]\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(5)(-14)}}{2(5)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{10} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 \pm 17}{10} \][/tex]
#### समाधान:
[tex]\[ x = \frac{3 + 17}{10} = \frac{20}{10} = 2 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3 - 17}{10} = \frac{-14}{10} = -1.4 \][/tex]
अतः, [tex]\( x = 2 \)[/tex] और [tex]\( x = -1.4 \)[/tex] हमारी समीकरण के हल हैं।
#### अंतिम उत्तर:
[tex]\[ x = 2 \quad \text{और} \quad x = -1.4 \][/tex]
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