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Sagot :
Para graficar la función por tramos [tex]\( f(x) \)[/tex], tenemos que analizar cada una de las definiciones para distintos intervalos de [tex]\( x \)[/tex]. La función está dividida en tres tramos:
1. Primer Tramo:
[tex]\( f(x) = -2 \)[/tex] para [tex]\( x \in (-\infty, -2) \)[/tex].
2. Segundo Tramo:
[tex]\( f(x) = 2x + 2 \)[/tex] para [tex]\( x \in [-2, 3] \)[/tex].
3. Tercer Tramo:
[tex]\( f(x) = (x - 3)^2 + 2 \)[/tex] para [tex]\( x \in (3, \infty) \)[/tex].
Vamos a graficar estos tramos paso a paso.
### Primer Tramo: [tex]\( x \in (-\infty, -2) \)[/tex]
Para todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] menores que [tex]\( -2 \)[/tex], [tex]\( f(x) \)[/tex] es una constante igual a [tex]\( -2 \)[/tex]. Esto se representa como una línea horizontal:
[tex]\[ f(x) = -2 \quad \text{para} \quad x < -2 \][/tex]
En el gráfico, esto será una línea horizontal a la altura [tex]\( y = -2 \)[/tex] desde [tex]\( x = -\infty \)[/tex] hasta justo antes de [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Segundo Tramo: [tex]\( x \in [-2, 3] \)[/tex]
En este intervalo, la función es una línea recta con pendiente [tex]\( 2 \)[/tex] y ordenada al origen [tex]\( 2 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2x + 2 \quad \text{para} \quad -2 \leq x \leq 3 \][/tex]
Podemos calcular algunos puntos clave:
- Cuando [tex]\( x = -2 \)[/tex], [tex]\( f(x) = 2(-2) + 2 = -2 \)[/tex]
- Cuando [tex]\( x = 3 \)[/tex], [tex]\( f(x) = 2(3) + 2 = 8 \)[/tex]
La línea se extiende desde [tex]\( (-2, -2) \)[/tex] hasta [tex]\( (3, 8) \)[/tex].
### Tercer Tramo: [tex]\( x \in (3, \infty) \)[/tex]
Para valores de [tex]\( x \)[/tex] mayores que [tex]\( 3 \)[/tex], la función se define como un parabola con vértice en [tex]\( (3, 2) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = (x - 3)^2 + 2 \quad \text{para} \quad x > 3 \][/tex]
Podemos calcular algunos puntos clave:
- Cuando [tex]\( x = 4 \)[/tex], [tex]\( f(x) = (4 - 3)^2 + 2 = 3 \)[/tex]
- Cuando [tex]\( x = 5 \)[/tex], [tex]\( f(x) = (5 - 3)^2 + 2 = 6 \)[/tex]
La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, empezando desde justo después de [tex]\( x = 3 \)[/tex].
### Gráfica Completa
1. Tramo 1 ([tex]\(-\infty, -2\)[/tex]): Línea horizontal en [tex]\( y = -2 \)[/tex].
2. Tramo 2 ([-2, 3]): Línea recta desde [tex]\((-2, -2)\)[/tex] a [tex]\((3, 8)\)[/tex].
3. Tramo 3 [tex]\((3, +\infty)\)[/tex]: Parábola que pasa por [tex]\((3, 2)\)[/tex] y tiene vértice en [tex]\((3, 2)\)[/tex].
Ahora, juntemos las piezas y llevémoslas al plano de coordenadas.
- Dibuja una línea horizontal desde la izquierda del gráfico, deteniéndote justo antes de [tex]\(-2\)[/tex], en [tex]\( y = -2 \)[/tex].
- Desde [tex]\((-2, -2)\)[/tex] continúa con una línea recta hasta [tex]\((3, 8)\)[/tex].
- Justo después de [tex]\( (3, 8) \)[/tex], comienza una parábola que sube hacia arriba a medida que [tex]\( x \)[/tex] aumenta.
Con esto tendrás una visualización clara de cómo se comporta la función [tex]\( f(x) \)[/tex] a lo largo de su dominio.
1. Primer Tramo:
[tex]\( f(x) = -2 \)[/tex] para [tex]\( x \in (-\infty, -2) \)[/tex].
2. Segundo Tramo:
[tex]\( f(x) = 2x + 2 \)[/tex] para [tex]\( x \in [-2, 3] \)[/tex].
3. Tercer Tramo:
[tex]\( f(x) = (x - 3)^2 + 2 \)[/tex] para [tex]\( x \in (3, \infty) \)[/tex].
Vamos a graficar estos tramos paso a paso.
### Primer Tramo: [tex]\( x \in (-\infty, -2) \)[/tex]
Para todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] menores que [tex]\( -2 \)[/tex], [tex]\( f(x) \)[/tex] es una constante igual a [tex]\( -2 \)[/tex]. Esto se representa como una línea horizontal:
[tex]\[ f(x) = -2 \quad \text{para} \quad x < -2 \][/tex]
En el gráfico, esto será una línea horizontal a la altura [tex]\( y = -2 \)[/tex] desde [tex]\( x = -\infty \)[/tex] hasta justo antes de [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Segundo Tramo: [tex]\( x \in [-2, 3] \)[/tex]
En este intervalo, la función es una línea recta con pendiente [tex]\( 2 \)[/tex] y ordenada al origen [tex]\( 2 \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2x + 2 \quad \text{para} \quad -2 \leq x \leq 3 \][/tex]
Podemos calcular algunos puntos clave:
- Cuando [tex]\( x = -2 \)[/tex], [tex]\( f(x) = 2(-2) + 2 = -2 \)[/tex]
- Cuando [tex]\( x = 3 \)[/tex], [tex]\( f(x) = 2(3) + 2 = 8 \)[/tex]
La línea se extiende desde [tex]\( (-2, -2) \)[/tex] hasta [tex]\( (3, 8) \)[/tex].
### Tercer Tramo: [tex]\( x \in (3, \infty) \)[/tex]
Para valores de [tex]\( x \)[/tex] mayores que [tex]\( 3 \)[/tex], la función se define como un parabola con vértice en [tex]\( (3, 2) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = (x - 3)^2 + 2 \quad \text{para} \quad x > 3 \][/tex]
Podemos calcular algunos puntos clave:
- Cuando [tex]\( x = 4 \)[/tex], [tex]\( f(x) = (4 - 3)^2 + 2 = 3 \)[/tex]
- Cuando [tex]\( x = 5 \)[/tex], [tex]\( f(x) = (5 - 3)^2 + 2 = 6 \)[/tex]
La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba, empezando desde justo después de [tex]\( x = 3 \)[/tex].
### Gráfica Completa
1. Tramo 1 ([tex]\(-\infty, -2\)[/tex]): Línea horizontal en [tex]\( y = -2 \)[/tex].
2. Tramo 2 ([-2, 3]): Línea recta desde [tex]\((-2, -2)\)[/tex] a [tex]\((3, 8)\)[/tex].
3. Tramo 3 [tex]\((3, +\infty)\)[/tex]: Parábola que pasa por [tex]\((3, 2)\)[/tex] y tiene vértice en [tex]\((3, 2)\)[/tex].
Ahora, juntemos las piezas y llevémoslas al plano de coordenadas.
- Dibuja una línea horizontal desde la izquierda del gráfico, deteniéndote justo antes de [tex]\(-2\)[/tex], en [tex]\( y = -2 \)[/tex].
- Desde [tex]\((-2, -2)\)[/tex] continúa con una línea recta hasta [tex]\((3, 8)\)[/tex].
- Justo después de [tex]\( (3, 8) \)[/tex], comienza una parábola que sube hacia arriba a medida que [tex]\( x \)[/tex] aumenta.
Con esto tendrás una visualización clara de cómo se comporta la función [tex]\( f(x) \)[/tex] a lo largo de su dominio.
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