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Sagot :
Para encontrar el dominio y la gráfica de la función [tex]\( f(x) \)[/tex], primero descompondremos la función en sus partes, luego determinamos el dominio y, finalmente, graficamos cada parte en su dominio adecuado.
### Parte 1: Descripción de la función
La función [tex]\( f(x) \)[/tex] está definida por partes:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4, & \text{si } x < 3 \\ -2x + 5, & \text{si } x > 3 \end{cases} \][/tex]
### Parte 2: Dominio de la función
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
La primera parte de la función [tex]\(-x^2 + 4\)[/tex] está definida para todos los [tex]\( x < 3 \)[/tex].
La segunda parte de la función [tex]\(-2x + 5\)[/tex] está definida para todos los [tex]\( x > 3 \)[/tex].
No se especifica el valor de [tex]\( f(x) \)[/tex] para [tex]\( x = 3 \)[/tex] en la definición dada, por lo que vamos a subentender que la función no está definida en [tex]\( x = 3 \)[/tex]. Así, el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \][/tex]
### Parte 3: Gráfica de la función
Para graficar [tex]\( f(x) \)[/tex], tenemos que considerar cada parte de la función en su intervalo correspondiente.
1. Primera parte: [tex]\( f(x) = -x^2 + 4 \)[/tex] para [tex]\( x < 3 \)[/tex]:
- Esta es una parábola invertida (abierta hacia abajo) cuyo vértice está en el punto [tex]\((0, 4)\)[/tex].
2. Segunda parte: [tex]\( f(x) = -2x + 5 \)[/tex] para [tex]\( x > 3 \)[/tex]:
- Esta es una línea recta con pendiente negativa (descendiente) que intersecta el eje [tex]\( y \)[/tex] en [tex]\( y = 5 \)[/tex].
Graficamos cada parte por separado y luego las combinamos teniendo en cuenta que no dibujamos un punto en [tex]\( x = 3 \)[/tex] ya que la función no está definida allí.
#### Paso a Paso para Graficar
1. Identificar puntos importantes y la forma de cada parte:
- Para la parábola [tex]\( f(x) = -x^2 + 4 \)[/tex]:
- El vértice está en [tex]\((0, 4)\)[/tex].
- Pasa por los puntos [tex]\( (2, 0) \)[/tex] y [tex]\( (-2, 0) \)[/tex].
- Para la línea [tex]\( f(x) = -2x + 5 \)[/tex]:
- Pasa por el punto [tex]\( (3, -1) \)[/tex].
2. Dibujar la parábola para [tex]\( x < 3 \)[/tex]:
- Dibuja la parábola desde la izquierda (comenzando desde [tex]\( x = -\infty \)[/tex]) hasta [tex]\( x \)[/tex] cercano pero menor que 3.
- Debe ser una curva que desciende hasta infinito conforme [tex]\( x \)[/tex] decrece desde 0, y sube hasta tocar [tex]\( x = 2 \)[/tex] en [tex]\( y = 0 \)[/tex], después continua bajando hasta [tex]\( x \)[/tex] cercano pero menor que 3.
3. Dibujar la línea para [tex]\( x > 3 \)[/tex]:
- Dibuja la recta desde [tex]\( x \)[/tex] próximo pero mayor que 3, con pendiente descendente de -2 (es decir, la recta desciende dos unidades en y por cada unidad que avanza en x).
4. Verificar el comportamiento cerca de [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
- La parábola termina justo antes de [tex]\( x = 3 \)[/tex].
- La línea comienza justo después de [tex]\( x = 3 \)[/tex].
### Gráfica resultante:
- La parábola está a la izquierda del punto [tex]\( x = 3 \)[/tex].
- La línea recta está a la derecha del punto [tex]\( x = 3 \)[/tex].
Dibuja estas dos funciones por separado, asegurándote de no incluir el punto en [tex]\( x = 3 \)[/tex] en la gráfica.
[tex]\[ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ xlabel=$x$, ylabel={$f(x)$}, axis lines = left, grid = both, xmin=-5, xmax=8, ymin=-10, ymax=10, samples=200 ] \addplot[domain=-5:2.99, smooth, thick] {-(x^2) + 4}; \addplot[domain=3.01:8, thick] {-2*x + 5}; \addplot[mark=*,color=black,mark size=1.5pt] coordinates{(3,-1)}; %% Adding dashed lines for asymptotes and domain limitations \addplot[dashed] coordinates {(3,-10) (3,5)}; \node at (axis cs:3,-1)[pin={[pin distance=4cm]142:{\( f \not\equiv x=3\)}}] {}; \end{axis} \end{tikzpicture} \][/tex]
Recuerda, hay un espacio vacío en [tex]\( x = 3 \)[/tex] ya que la función no está definida en ese punto.
### Parte 1: Descripción de la función
La función [tex]\( f(x) \)[/tex] está definida por partes:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4, & \text{si } x < 3 \\ -2x + 5, & \text{si } x > 3 \end{cases} \][/tex]
### Parte 2: Dominio de la función
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] para los cuales la función está definida.
La primera parte de la función [tex]\(-x^2 + 4\)[/tex] está definida para todos los [tex]\( x < 3 \)[/tex].
La segunda parte de la función [tex]\(-2x + 5\)[/tex] está definida para todos los [tex]\( x > 3 \)[/tex].
No se especifica el valor de [tex]\( f(x) \)[/tex] para [tex]\( x = 3 \)[/tex] en la definición dada, por lo que vamos a subentender que la función no está definida en [tex]\( x = 3 \)[/tex]. Así, el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \][/tex]
### Parte 3: Gráfica de la función
Para graficar [tex]\( f(x) \)[/tex], tenemos que considerar cada parte de la función en su intervalo correspondiente.
1. Primera parte: [tex]\( f(x) = -x^2 + 4 \)[/tex] para [tex]\( x < 3 \)[/tex]:
- Esta es una parábola invertida (abierta hacia abajo) cuyo vértice está en el punto [tex]\((0, 4)\)[/tex].
2. Segunda parte: [tex]\( f(x) = -2x + 5 \)[/tex] para [tex]\( x > 3 \)[/tex]:
- Esta es una línea recta con pendiente negativa (descendiente) que intersecta el eje [tex]\( y \)[/tex] en [tex]\( y = 5 \)[/tex].
Graficamos cada parte por separado y luego las combinamos teniendo en cuenta que no dibujamos un punto en [tex]\( x = 3 \)[/tex] ya que la función no está definida allí.
#### Paso a Paso para Graficar
1. Identificar puntos importantes y la forma de cada parte:
- Para la parábola [tex]\( f(x) = -x^2 + 4 \)[/tex]:
- El vértice está en [tex]\((0, 4)\)[/tex].
- Pasa por los puntos [tex]\( (2, 0) \)[/tex] y [tex]\( (-2, 0) \)[/tex].
- Para la línea [tex]\( f(x) = -2x + 5 \)[/tex]:
- Pasa por el punto [tex]\( (3, -1) \)[/tex].
2. Dibujar la parábola para [tex]\( x < 3 \)[/tex]:
- Dibuja la parábola desde la izquierda (comenzando desde [tex]\( x = -\infty \)[/tex]) hasta [tex]\( x \)[/tex] cercano pero menor que 3.
- Debe ser una curva que desciende hasta infinito conforme [tex]\( x \)[/tex] decrece desde 0, y sube hasta tocar [tex]\( x = 2 \)[/tex] en [tex]\( y = 0 \)[/tex], después continua bajando hasta [tex]\( x \)[/tex] cercano pero menor que 3.
3. Dibujar la línea para [tex]\( x > 3 \)[/tex]:
- Dibuja la recta desde [tex]\( x \)[/tex] próximo pero mayor que 3, con pendiente descendente de -2 (es decir, la recta desciende dos unidades en y por cada unidad que avanza en x).
4. Verificar el comportamiento cerca de [tex]\( x = 3 \)[/tex]:
- La parábola termina justo antes de [tex]\( x = 3 \)[/tex].
- La línea comienza justo después de [tex]\( x = 3 \)[/tex].
### Gráfica resultante:
- La parábola está a la izquierda del punto [tex]\( x = 3 \)[/tex].
- La línea recta está a la derecha del punto [tex]\( x = 3 \)[/tex].
Dibuja estas dos funciones por separado, asegurándote de no incluir el punto en [tex]\( x = 3 \)[/tex] en la gráfica.
[tex]\[ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ xlabel=$x$, ylabel={$f(x)$}, axis lines = left, grid = both, xmin=-5, xmax=8, ymin=-10, ymax=10, samples=200 ] \addplot[domain=-5:2.99, smooth, thick] {-(x^2) + 4}; \addplot[domain=3.01:8, thick] {-2*x + 5}; \addplot[mark=*,color=black,mark size=1.5pt] coordinates{(3,-1)}; %% Adding dashed lines for asymptotes and domain limitations \addplot[dashed] coordinates {(3,-10) (3,5)}; \node at (axis cs:3,-1)[pin={[pin distance=4cm]142:{\( f \not\equiv x=3\)}}] {}; \end{axis} \end{tikzpicture} \][/tex]
Recuerda, hay un espacio vacío en [tex]\( x = 3 \)[/tex] ya que la función no está definida en ese punto.
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