Claro, vamos a resolver el problema paso a paso para cada una de las opciones y ver en cuál de ellas se obtiene [tex]\( a + 1 \)[/tex].
### Opción A
División:
[tex]\[
\frac{a^{n+1} + a^n}{a^n}
\][/tex]
Simplificamos el numerador usando la propiedad [tex]\( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{a^{n+1}}{a^n} + \frac{a^n}{a^n}
\][/tex]
[tex]\[
= a^{(n+1) - n} + a^{n-n}
\][/tex]
[tex]\[
= a^1 + a^0
\][/tex]
[tex]\[
= a + 1
\][/tex]
Entonces, la opción A es correcta porque se obtiene [tex]\( a + 1 \)[/tex].
### Opción B
División:
[tex]\[
\frac{a^{n+1} - a^n}{a^{n-1}}
\][/tex]
Simplificamos el numerador usando la propiedad [tex]\( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{a^{n+1}}{a^{n-1}} - \frac{a^n}{a^{n-1}}
\][/tex]
[tex]\[
= a^{(n+1) - (n-1)} - a^{n - (n-1)}
\][/tex]
[tex]\[
= a^{2} - a
\][/tex]
Aquí no se obtiene [tex]\( a + 1 \)[/tex]. Por lo tanto, la opción B no es correcta.
### Opción C
División:
[tex]\[
\frac{a^{n+1} + a^n}{a^{n-1}}
\][/tex]
Simplificamos el numerador usando la propiedad [tex]\( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{a^{n+1}}{a^{n-1}} + \frac{a^n}{a^{n-1}}
\][/tex]
[tex]\[
= a^{(n+1) - (n-1)} + a^{n - (n-1)}
\][/tex]
[tex]\[
= a^{2} + a
\][/tex]
Aquí no se obtiene [tex]\( a + 1 \)[/tex]. Por lo tanto, la opción C no es correcta.
### Opción D
División:
[tex]\[
\frac{a^{n+1} + a^n}{a^{n+1}}
\][/tex]
Simplificamos el numerador usando la propiedad [tex]\( \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{a^{n+1}}{a^{n+1}} + \frac{a^n}{a^{n+1}}
\][/tex]
[tex]\[
= a^{(n+1) - (n+1)} + a^{n - (n+1)}
\][/tex]
[tex]\[
= a^{0} + a^{-1}
\][/tex]
[tex]\[
= 1 + \frac{1}{a}
\][/tex]
Aquí no se obtiene [tex]\( a + 1 \)[/tex]. Por lo tanto, la opción D no es correcta.
### Conclusión:
Después de revisar todas las opciones, la división en la cual se obtiene [tex]\( a + 1 \)[/tex] es en la Opción A:
[tex]\[
\frac{a^{n+1} + a^n}{a^n}
= a + 1
\][/tex]
