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27. Dada la fracción [tex]$\frac{a}{b}$[/tex], si al numerador se le resta [tex]$n$[/tex] veces el denominador y al denominador [tex][tex]$n$[/tex][/tex] veces el numerador, se obtiene 2. Entonces, dicha fracción en términos de [tex]$n$[/tex] será:

A) [tex]$n+3$[/tex]

B) [tex]$\frac{2n}{n+3}$[/tex]

C) [tex][tex]$\frac{2n-3}{n+1}$[/tex][/tex]

D) [tex]$\frac{n+2}{2n+1}$[/tex]

[tex]\[
\begin{array}{l}
\frac{a - n \cdot b}{b - n \cdot a} = 2 \\
\frac{n \cdot 2n}{n \cdot 2n} = 2
\end{array}
\][/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
Para resolver el problema, comencemos estableciendo la relación matemática dada:

Se nos dice que, dada la fracción [tex]\(\frac{a}{b}\)[/tex], al numerador se le resta [tex]\(n\)[/tex] veces el denominador y al denominador se le resta [tex]\(n\)[/tex] veces el numerador, obtenemos la fracción [tex]\(\frac{a - n b}{b - n a} = 2\)[/tex].

Escribamos esta relación como una ecuación y resuelvamos para [tex]\(a\)[/tex] en términos de [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(n\)[/tex]:

[tex]\[ \frac{a - n b}{b - n a} = 2 \][/tex]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por [tex]\((b - n a)\)[/tex] para eliminar el denominador:

[tex]\[ a - n b = 2 (b - n a) \][/tex]

Distribuimos el 2 en el lado derecho:

[tex]\[ a - n b = 2b - 2n a \][/tex]

Ahora, trasladamos todos los términos con [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] hacia un lado de la ecuación para resolver:

[tex]\[ a + 2n a = 2b + n b \][/tex]

Factorizando [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] en ambos lados:

[tex]\[ a (1 + 2n) = b (2 + n) \][/tex]

Ahora, resolvemos para la fracción original [tex]\(\frac{a}{b}\)[/tex]:

[tex]\[ \frac{a}{b} = \frac{2 + n}{1 + 2n} \][/tex]

Por lo tanto, la fracción [tex]\(\frac{a}{b}\)[/tex] en términos de [tex]\(n\)[/tex] es [tex]\(\frac{n + 2}{2n + 1}\)[/tex].

Así que la opción correcta es:

D) [tex]\(\frac{n+2}{2n+1}\)[/tex]
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