Vamos resolver a questão passo a passo para encontrar a interseção ([tex]\( A \cap B \)[/tex]) e a união ([tex]\( A \cup B \)[/tex]) dos conjuntos [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex].
Primeiro, vamos definir os conjuntos [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex] de acordo com as condições fornecidas:
- Conjunto [tex]\( A \)[/tex] é definido como [tex]\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 3 \} \)[/tex]. Ou seja, contém todos os números reais que são maiores que -1 e menores ou iguais a 3.
- Conjunto [tex]\( B \)[/tex] é definido como [tex]\( B = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \leq 5 \} \)[/tex]. Ou seja, contém todos os números reais que são maiores que 2 e menores ou iguais a 5.
### a) [tex]\( A \cap B \)[/tex]
A interseção dos conjuntos [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex] é o conjunto de elementos que estão presentes em ambos os conjuntos ao mesmo tempo. Então, precisamos encontrar os valores comuns entre [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex].
- [tex]\( A \)[/tex] é o intervalo que vai de -1 até 3, excluindo -1 e incluindo 3: [tex]\( (-1, 3] \)[/tex].
- [tex]\( B \)[/tex] é o intervalo que vai de 2 até 5, excluindo 2 e incluindo 5: [tex]\( (2, 5] \)[/tex].
Os elementos que estão em ambos os intervalos são aqueles que são maiores que 2 e menores ou iguais a 3. Portanto, a interseção [tex]\( A \cap B \)[/tex] é:
[tex]\[ A \cap B = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2 < x \leq 3 \} = \{3\} \][/tex]
### b) [tex]\( A \cup B \)[/tex]
A união dos conjuntos [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex] é o conjunto de todos os elementos que estão presentes em pelo menos um dos conjuntos. Então, precisamos combinar todos os elementos de [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex].
- [tex]\( A \)[/tex] é o intervalo [tex]\( (-1, 3] \)[/tex].
- [tex]\( B \)[/tex] é o intervalo [tex]\( (2, 5] \)[/tex].
Somando esses intervalos, obtemos:
[tex]\[ A \cup B = \{ x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \leq 5 \} \][/tex]
Por fim, vamos listar os elementos individuais para a união:
[tex]\[ A \cup B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \][/tex]
Conclusão:
a) [tex]\( A \cap B = \{3\} \)[/tex]
b) [tex]\( A \cup B = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)[/tex]
Assim, temos a interseção e a união dos conjuntos [tex]\( A \)[/tex] e [tex]\( B \)[/tex] conforme definido.
