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Sagot :
Claro, vamos a resolver los sistemas de ecuaciones planteados uno a uno de manera detallada.
Sistema 1:
Ecuaciones:
1. [tex]\( x + y = 4 \)[/tex]
2. [tex]\( x - y = 2 \)[/tex]
Sumamos estas dos ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ (x + y) + (x - y) = 4 + 2 \][/tex]
[tex]\[ 2x = 6 \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
Usamos esta solución en la primera ecuación para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3 + y = 4 \][/tex]
[tex]\[ y = 1 \][/tex]
Solución del Sistema 1:
[tex]\[ x = 3, y = 1 \][/tex]
Sistema 2:
Ecuación dada:
1. [tex]\( x - y = 3 \)[/tex]
Solamente hay una ecuación, por lo que necesitamos otra ecuación independiente para encontrar una solución única. La resolución no es posible con la información proporcionada.
Conclusión:
Sin más información, este sistema no tiene una solución definida única.
Sistema 3:
Ecuaciones:
1. [tex]\( 2x - y = 4 \)[/tex]
2. [tex]\( 3x + y = 5 \)[/tex]
Sumamos estas dos ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ (2x - y) + (3x + y) = 4 + 5 \][/tex]
[tex]\[ 5x = 9 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{9}{5} \][/tex]
Usamos esta solución en la segunda ecuación para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3\left(\frac{9}{5}\right) + y = 5 \][/tex]
[tex]\[ \frac{27}{5} + y = 5 \][/tex]
[tex]\[ y = 5 - \frac{27}{5} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{25}{5} - \frac{27}{5} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{2}{5} \][/tex]
Solución del Sistema 3:
[tex]\[ x = \frac{9}{5}, y = -\frac{2}{5} \][/tex]
Sistema 4:
Ecuaciones:
1. [tex]\( x + y = 5 \)[/tex]
2. [tex]\( 5x - y = 13 \)[/tex]
Sumamos estas dos ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ (x + y) + (5x - y) = 5 + 13 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 18 \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
Usamos esta solución en la primera ecuación para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3 + y = 5 \][/tex]
[tex]\[ y = 2 \][/tex]
Solución del Sistema 4:
[tex]\[ x = 3, y = 2 \][/tex]
Sistema 5:
Ecuaciones:
1. [tex]\( 4x - y = 9 \)[/tex]
2. [tex]\( 2y = 6 - x \)[/tex]
Primero simplificamos la segunda ecuación para tenerla en forma estándar:
[tex]\[ 2y = 6 - x \][/tex]
[tex]\[ x + 2y = 6 \][/tex]
Reescribiendo el sistema:
1. [tex]\( 4x - y = 9 \)[/tex]
2. [tex]\( x + 2y = 6 \)[/tex]
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para que la comparación sea más sencilla:
[tex]\[ 2(x + 2y) = 2 \cdot 6 \][/tex]
[tex]\[ 2x + 4y = 12 \][/tex]
Deducimos:
[tex]\[ 4x - y = 9 \][/tex]
[tex]\[ 2x + 4y = 12 \][/tex]
Usamos estas ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
Multiplicamos la primera ecuación por 4:
[tex]\[ 4(4x - y) = 4\cdot 9 \][/tex]
[tex]\[ 16x - 4y = 36 \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la ecuación ajustada:
[tex]\[ (16x - 4y) - (2x + 4y) = 36 - 12 \][/tex]
[tex]\[ 14x = 24 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{24}{14} = \frac{12}{7} = \frac{8}{3} \][/tex]
Usamos esta solución en la forma simplificada de la segunda ecuación:
[tex]\[ \frac{8}{3} + 2y = 6 \][/tex]
[tex]\[ 2y = 6 - \frac{8}{3} \][/tex]
[tex]\[ 2y = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} \][/tex]
[tex]\[ 2y = \frac{10}{3} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \][/tex]
Solución del Sistema 5:
[tex]\[ x = \frac{8}{3}, y = \frac{5}{3} \][/tex]
### Conclusión Final
Resultados:
- Sistema 1: [tex]\( x = 3, y = 1 \)[/tex]
- Sistema 2: No tiene solución definitiva con la información proporcionada.
- Sistema 3: [tex]\( x = \frac{9}{5}, y = -\frac{2}{5} \)[/tex]
- Sistema 4: [tex]\( x = 3, y = 2 \)[/tex]
- Sistema 5: [tex]\( x = \frac{8}{3}, y = \frac{5}{3} \)[/tex]
Sistema 1:
Ecuaciones:
1. [tex]\( x + y = 4 \)[/tex]
2. [tex]\( x - y = 2 \)[/tex]
Sumamos estas dos ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ (x + y) + (x - y) = 4 + 2 \][/tex]
[tex]\[ 2x = 6 \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
Usamos esta solución en la primera ecuación para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3 + y = 4 \][/tex]
[tex]\[ y = 1 \][/tex]
Solución del Sistema 1:
[tex]\[ x = 3, y = 1 \][/tex]
Sistema 2:
Ecuación dada:
1. [tex]\( x - y = 3 \)[/tex]
Solamente hay una ecuación, por lo que necesitamos otra ecuación independiente para encontrar una solución única. La resolución no es posible con la información proporcionada.
Conclusión:
Sin más información, este sistema no tiene una solución definida única.
Sistema 3:
Ecuaciones:
1. [tex]\( 2x - y = 4 \)[/tex]
2. [tex]\( 3x + y = 5 \)[/tex]
Sumamos estas dos ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ (2x - y) + (3x + y) = 4 + 5 \][/tex]
[tex]\[ 5x = 9 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{9}{5} \][/tex]
Usamos esta solución en la segunda ecuación para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3\left(\frac{9}{5}\right) + y = 5 \][/tex]
[tex]\[ \frac{27}{5} + y = 5 \][/tex]
[tex]\[ y = 5 - \frac{27}{5} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{25}{5} - \frac{27}{5} \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{2}{5} \][/tex]
Solución del Sistema 3:
[tex]\[ x = \frac{9}{5}, y = -\frac{2}{5} \][/tex]
Sistema 4:
Ecuaciones:
1. [tex]\( x + y = 5 \)[/tex]
2. [tex]\( 5x - y = 13 \)[/tex]
Sumamos estas dos ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ (x + y) + (5x - y) = 5 + 13 \][/tex]
[tex]\[ 6x = 18 \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
Usamos esta solución en la primera ecuación para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ 3 + y = 5 \][/tex]
[tex]\[ y = 2 \][/tex]
Solución del Sistema 4:
[tex]\[ x = 3, y = 2 \][/tex]
Sistema 5:
Ecuaciones:
1. [tex]\( 4x - y = 9 \)[/tex]
2. [tex]\( 2y = 6 - x \)[/tex]
Primero simplificamos la segunda ecuación para tenerla en forma estándar:
[tex]\[ 2y = 6 - x \][/tex]
[tex]\[ x + 2y = 6 \][/tex]
Reescribiendo el sistema:
1. [tex]\( 4x - y = 9 \)[/tex]
2. [tex]\( x + 2y = 6 \)[/tex]
Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para que la comparación sea más sencilla:
[tex]\[ 2(x + 2y) = 2 \cdot 6 \][/tex]
[tex]\[ 2x + 4y = 12 \][/tex]
Deducimos:
[tex]\[ 4x - y = 9 \][/tex]
[tex]\[ 2x + 4y = 12 \][/tex]
Usamos estas ecuaciones para eliminar [tex]\(y\)[/tex]:
Multiplicamos la primera ecuación por 4:
[tex]\[ 4(4x - y) = 4\cdot 9 \][/tex]
[tex]\[ 16x - 4y = 36 \][/tex]
Restamos la segunda ecuación de la ecuación ajustada:
[tex]\[ (16x - 4y) - (2x + 4y) = 36 - 12 \][/tex]
[tex]\[ 14x = 24 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{24}{14} = \frac{12}{7} = \frac{8}{3} \][/tex]
Usamos esta solución en la forma simplificada de la segunda ecuación:
[tex]\[ \frac{8}{3} + 2y = 6 \][/tex]
[tex]\[ 2y = 6 - \frac{8}{3} \][/tex]
[tex]\[ 2y = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} \][/tex]
[tex]\[ 2y = \frac{10}{3} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \][/tex]
Solución del Sistema 5:
[tex]\[ x = \frac{8}{3}, y = \frac{5}{3} \][/tex]
### Conclusión Final
Resultados:
- Sistema 1: [tex]\( x = 3, y = 1 \)[/tex]
- Sistema 2: No tiene solución definitiva con la información proporcionada.
- Sistema 3: [tex]\( x = \frac{9}{5}, y = -\frac{2}{5} \)[/tex]
- Sistema 4: [tex]\( x = 3, y = 2 \)[/tex]
- Sistema 5: [tex]\( x = \frac{8}{3}, y = \frac{5}{3} \)[/tex]
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