Para determinar cuál de los números dados cumple con la propiedad de que un número de [tex]\( k \)[/tex] dígitos es igual a la suma de cada uno de sus dígitos elevados a la potencia [tex]\( k \)[/tex], evaluemos cada opción.
Opción A: 19
- Tiene [tex]\( k = 2 \)[/tex] dígitos.
- Elevar cada dígito a la potencia [tex]\( 2 \)[/tex] y sumarlos:
[tex]\[
1^2 + 9^2 = 1 + 81 = 82
\][/tex]
- 82 no es igual a 19, por lo tanto, 19 no cumple la condición.
Opción B: 32
- Tiene [tex]\( k = 2 \)[/tex] dígitos.
- La expresión [tex]\( 2^{3+2} = 2^5 = 32 \)[/tex] no sigue el patrón enunciado, que es cada dígito elevado a la potencia [tex]\( k \)[/tex], sino una interpretación diferente.
- Evaluando cada dígito a la potencia [tex]\( 2 \)[/tex]:
[tex]\[
3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
\][/tex]
- 13 no es igual a 32, por lo tanto, 32 no cumple la condición.
Opción C: 153
- Tiene [tex]\( k = 3 \)[/tex] dígitos.
- Elevar cada dígito a la potencia [tex]\( 3 \)[/tex] y sumarlos:
[tex]\[
1^3 + 5^3 + 3^3 = 1 + 125 + 27 = 153
\][/tex]
- 153 es igual a 153, por lo tanto, 153 cumple la condición.
Opción D: 512
- Tiene [tex]\( k = 3 \)[/tex] dígitos.
- La expresión [tex]\( (5+1+2)^3 = 8^3 = 512 \)[/tex] no sigue el patrón enunciado, sino una interpretación diferente.
- Evaluando cada dígito a la potencia [tex]\( 3 \)[/tex]:
[tex]\[
5^3 + 1^3 + 2^3 = 125 + 1 + 8 = 134
\][/tex]
- 134 no es igual a 512, por lo tanto, 512 no cumple la condición.
Conclusión:
El número que cumple con la condición enunciada es [tex]\( 153 \)[/tex]. Por lo tanto, la respuesta correcta es:
C. 153, porque [tex]\( 1^3 + 5^3 + 3^3 = 153 \)[/tex].
