Claro, vamos a resolver la ecuación cuadrática [tex]\(x^2 - 2x - 15 = 0\)[/tex] y encontrar la suma de sus soluciones.
Primero, recordemos que una ecuación cuadrática de la forma general [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex] se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
En nuestro caso, la ecuación es [tex]\(x^2 - 2x - 15 = 0\)[/tex]. Aquí, los coeficientes son:
[tex]\[
a = 1, \quad b = -2, \quad c = -15
\][/tex]
Para encontrar las soluciones, aplicamos la fórmula cuadrática:
1. Calculamos el discriminante [tex]\(\Delta\)[/tex]:
[tex]\[
\Delta = b^2 - 4ac
\][/tex]
[tex]\[
\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-15)
\][/tex]
[tex]\[
\Delta = 4 + 60
\][/tex]
[tex]\[
\Delta = 64
\][/tex]
2. Sustituimos el valor de [tex]\(\Delta\)[/tex] en la fórmula cuadrática:
[tex]\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2(1)}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{2 \pm 8}{2}
\][/tex]
3. Obtenemos las dos soluciones resolviendo para los dos casos del símbolo [tex]\(\pm\)[/tex]:
[tex]\[
x_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5
\][/tex]
[tex]\[
x_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación [tex]\(x^2 - 2x - 15 = 0\)[/tex] son [tex]\(x_1 = 5\)[/tex] y [tex]\(x_2 = -3\)[/tex].
Para encontrar la suma de las soluciones:
[tex]\[
x_1 + x_2 = 5 + (-3) = 2
\][/tex]
Así que, las soluciones de la ecuación cuadrática son [tex]\(\{5, -3\}\)[/tex] y la suma de las soluciones es [tex]\(2\)[/tex].
