Para determinar [tex]\( a^2 + b^2 + 3a + 3b \)[/tex] dados los valores [tex]\( a + b = 0 \)[/tex] y [tex]\( ab = 3 \)[/tex], sigamos los siguientes pasos detalladamente:
1. Comencemos con las ecuaciones dadas:
- [tex]\( a + b = 0 \)[/tex]
- [tex]\( ab = 3 \)[/tex]
2. Calculemos [tex]\( a^2 + b^2 \)[/tex] utilizando una identidad algebraica:
- Sabemos que:
[tex]\[
(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
\][/tex]
- Dado que [tex]\( a + b = 0 \)[/tex], podemos sustituir en la identidad:
[tex]\[
(0)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
\][/tex]
- Esto se simplifica a:
[tex]\[
0 = a^2 + b^2 + 2ab
\][/tex]
3. Sustituir el valor de [tex]\( ab \)[/tex] en la ecuación anterior:
- Dado que [tex]\( ab = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
0 = a^2 + b^2 + 2(3)
\][/tex]
- Esto se simplifica a:
[tex]\[
0 = a^2 + b^2 + 6
\][/tex]
- Resolviendo para [tex]\( a^2 + b^2 \)[/tex], obtenemos:
[tex]\[
a^2 + b^2 = -6
\][/tex]
4. Calculemos el término [tex]\( 3a + 3b \)[/tex]:
- Dado que [tex]\( a + b = 0 \)[/tex], multiplicamos ambos lados por 3:
[tex]\[
3a + 3b = 3 \times 0 = 0
\][/tex]
5. Sumemos los resultados obtenidos:
- Tenemos que [tex]\( a^2 + b^2 = -6 \)[/tex] y [tex]\( 3a + 3b = 0 \)[/tex].
- Entonces:
[tex]\[
a^2 + b^2 + 3a + 3b = -6 + 0 = -6
\][/tex]
Por tanto, el valor de [tex]\( a^2 + b^2 + 3a + 3b \)[/tex] es [tex]\(\boxed{-6}\)[/tex].
