Para hallar el centro y el radio de la circunferencia descrita por la ecuación [tex]\(x^2 + y^2 - 8x + 10y - 12 = 0\)[/tex], seguiremos los siguientes pasos, aplicando la técnica de completar el cuadrado:
1. Reorganizar la ecuación: Primero, reordenamos los términos relacionados con [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
x^2 - 8x + y^2 + 10y = 12
\][/tex]
2. Completar el cuadrado para [tex]\(x\)[/tex]: Para completar el cuadrado del término en [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16
\][/tex]
Aquí, hemos añadido y restado 16, que proviene de [tex]\(\left(\frac{-8}{2}\right)^2 = 16\)[/tex].
3. Completar el cuadrado para [tex]\(y\)[/tex]: Para completar el cuadrado del término en [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25
\][/tex]
Aquí, hemos añadido y restado 25, que proviene de [tex]\(\left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25\)[/tex].
4. Reescribir la ecuación utilizando los cuadrados completos:
[tex]\[
x^2 - 8x + y^2 + 10y = 12
\][/tex]
se convierte en:
[tex]\[
(x - 4)^2 - 16 + (y + 5)^2 - 25 = 12
\][/tex]
5. Simplificar la ecuación: Ahora pasamos los términos constantes al lado derecho:
[tex]\[
(x - 4)^2 + (y + 5)^2 - 16 - 25 = 12
\][/tex]
[tex]\[
(x - 4)^2 + (y + 5)^2 - 41 = 12
\][/tex]
[tex]\[
(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 53
\][/tex]
6. Identificar el centro y el radio: Comparando nuestra ecuación en la forma [tex]\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)[/tex], podemos identificar:
- El centro [tex]\((h, k)\)[/tex] de la circunferencia es [tex]\((4, -5)\)[/tex].
- El radio [tex]\(r\)[/tex] de la circunferencia es [tex]\(\sqrt{53}\)[/tex].
7. Determine el tipo de la circunferencia: Como el radio [tex]\(r = \sqrt{53}\)[/tex] es un número real (positivo), la circunferencia es real.
Por lo tanto, el centro de la circunferencia es [tex]\((4, -5)\)[/tex], el radio es [tex]\(\sqrt{53}\)[/tex] y la circunferencia es real.
