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Sagot :
Para resolver el problema de hallar el centro y el radio de una circunferencia y determinar si es real, imaginaria o se reduce a un punto, utilizamos la fórmula general de una circunferencia [tex]$Ax^2 + Ay^2 + Bx + Cy + D = 0$[/tex].
Vamos a resolver el inciso e): [tex]\( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \)[/tex].
### Paso 1: Estandarización del término cuadrático
Primero, observamos que los coeficientes de [tex]\(x^2\)[/tex] y [tex]\(y^2\)[/tex] son iguales y positivos, lo que confirma que la figura es una circunferencia. Si no lo estuvieran, tendríamos que hacer divisiones o multiplicaciones adecuadas, pero en este caso está correcto.
### Paso 2: Coeficientes de la ecuación
Identificamos los coeficientes y los términos independientes:
- [tex]\(A = 2\)[/tex]
- [tex]\(B = -1\)[/tex]
- [tex]\(C = 0\)[/tex]
- [tex]\(D = 0\)[/tex]
### Paso 3: Completar el cuadrado
#### Para [tex]\(x\)[/tex]:
Reescribimos los términos relacionados con [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[2x^2 - x = 2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right)\][/tex]
Para completar el cuadrado de [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - \frac{1}{2}x = \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 \][/tex]
[tex]\[ 2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) = 2\left(\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) \][/tex]
Descomponemos:
[tex]\[ 2(x - \frac{1}{4})^2 - 2\left(\frac{1}{16}\right) \][/tex]
[tex]\[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{8} \][/tex]
#### Para [tex]\(y\)[/tex]:
Dado que no hay términos lineales en [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[2y^2 = 2(y - 0)^2\][/tex]
### Paso 4: Ecuación modificada
Sustituimos:
[tex]\[ 2(x - \frac{1}{4})^2 + 2(y - 0)^2 = \frac{1}{8} \][/tex]
### Paso 5: Simplificación para determinar el radio
Dividimos toda la ecuación entre 2:
[tex]\[ \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + (y - 0)^2 = \frac{1}{16} \][/tex]
### Resultado
De la ecuación final, identificamos el centro [tex]\((h, k)\)[/tex] y el radio [tex]\(r\)[/tex]:
- Centro, [tex]\((h, k) = (\frac{1}{4}, 0)\)[/tex]
- Radio, [tex]\(r = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\)[/tex]
### Conclusión
La circunferencia es real con:
- Centro: [tex]\((\frac{1}{4}, 0)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(\frac{1}{4}\)[/tex]
Esta circunferencia existe en el plano, no es imaginaria ni se reduce a un punto.
So the solution to e) is: [tex]\((\frac{1}{4}, 0)\)[/tex], [tex]\(r = \frac{1}{4}\)[/tex], real.
Vamos a resolver el inciso e): [tex]\( 2x^2 + 2y^2 - x = 0 \)[/tex].
### Paso 1: Estandarización del término cuadrático
Primero, observamos que los coeficientes de [tex]\(x^2\)[/tex] y [tex]\(y^2\)[/tex] son iguales y positivos, lo que confirma que la figura es una circunferencia. Si no lo estuvieran, tendríamos que hacer divisiones o multiplicaciones adecuadas, pero en este caso está correcto.
### Paso 2: Coeficientes de la ecuación
Identificamos los coeficientes y los términos independientes:
- [tex]\(A = 2\)[/tex]
- [tex]\(B = -1\)[/tex]
- [tex]\(C = 0\)[/tex]
- [tex]\(D = 0\)[/tex]
### Paso 3: Completar el cuadrado
#### Para [tex]\(x\)[/tex]:
Reescribimos los términos relacionados con [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[2x^2 - x = 2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right)\][/tex]
Para completar el cuadrado de [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 - \frac{1}{2}x = \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 \][/tex]
[tex]\[ 2\left(x^2 - \frac{1}{2}x\right) = 2\left(\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) \][/tex]
Descomponemos:
[tex]\[ 2(x - \frac{1}{4})^2 - 2\left(\frac{1}{16}\right) \][/tex]
[tex]\[ 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{8} \][/tex]
#### Para [tex]\(y\)[/tex]:
Dado que no hay términos lineales en [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[2y^2 = 2(y - 0)^2\][/tex]
### Paso 4: Ecuación modificada
Sustituimos:
[tex]\[ 2(x - \frac{1}{4})^2 + 2(y - 0)^2 = \frac{1}{8} \][/tex]
### Paso 5: Simplificación para determinar el radio
Dividimos toda la ecuación entre 2:
[tex]\[ \left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + (y - 0)^2 = \frac{1}{16} \][/tex]
### Resultado
De la ecuación final, identificamos el centro [tex]\((h, k)\)[/tex] y el radio [tex]\(r\)[/tex]:
- Centro, [tex]\((h, k) = (\frac{1}{4}, 0)\)[/tex]
- Radio, [tex]\(r = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\)[/tex]
### Conclusión
La circunferencia es real con:
- Centro: [tex]\((\frac{1}{4}, 0)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(\frac{1}{4}\)[/tex]
Esta circunferencia existe en el plano, no es imaginaria ni se reduce a un punto.
So the solution to e) is: [tex]\((\frac{1}{4}, 0)\)[/tex], [tex]\(r = \frac{1}{4}\)[/tex], real.
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