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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver el sistema de ecuaciones dado y discutir dos casos: uno en el que el sistema tenga infinitas soluciones y otro en el que no tenga ninguna solución.
El sistema de ecuaciones dado es:
1. [tex]\( 2x + 3y = a \)[/tex]
2. [tex]\( 4x + 6y = b \)[/tex]
### Caso 1: Infinitas Soluciones
Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones, las dos ecuaciones deben ser esencialmente la misma ecuación, es decir, deben ser equivalentes. Esto significa que una ecuación debe ser un múltiplo de la otra.
Tomemos la primera ecuación y multipliquémosla por 2:
[tex]\[ 2 \cdot (2x + 3y) = 2a \][/tex]
Esto produce:
[tex]\[ 4x + 6y = 2a \][/tex]
Comparando esto con la segunda ecuación original, tenemos:
[tex]\[ 4x + 6y = b \][/tex]
Para que las dos ecuaciones sean esencialmente la misma, los términos constantes también deben ser iguales:
[tex]\[ b = 2a \][/tex]
Entonces, podemos elegir valores específicos. Por ejemplo:
- Si [tex]\( a = 1 \)[/tex], entonces [tex]\( b = 2 \cdot 1 = 2 \)[/tex].
Así, para que el sistema tenga infinitas soluciones:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 2 \)[/tex]
### Caso 2: No tiene Solución
Para que el sistema de ecuaciones no tenga solución, las ecuaciones deben representar líneas paralelas que nunca se intersecan. Esto sucede cuando las razones de los coeficientes de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] son iguales, pero los términos constantes no son iguales.
Sabemos que:
[tex]\[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \][/tex]
[tex]\[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \][/tex]
Esto significa que las líneas son paralelas porque sus pendientes (razón de los coeficientes de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex]) son iguales. Para que no haya solución, el término constante de la segunda ecuación no debe ser igual a 2 veces el término constante de la primera ecuación.
Ya vimos que para [tex]\( b = 2a \)[/tex] hay infinitas soluciones. Si queremos que no haya solución, podemos tomar:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b \)[/tex] diferente de [tex]\( 2a \)[/tex], por ejemplo [tex]\( b = 3 \)[/tex].
Así, para que el sistema no tenga solución:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 3 \)[/tex]
### Resumen
1. Infinitas soluciones:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 2 \)[/tex]
2. No tiene solución:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 3 \)[/tex]
Estos valores aseguran las condiciones solicitadas para el sistema de ecuaciones.
El sistema de ecuaciones dado es:
1. [tex]\( 2x + 3y = a \)[/tex]
2. [tex]\( 4x + 6y = b \)[/tex]
### Caso 1: Infinitas Soluciones
Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones, las dos ecuaciones deben ser esencialmente la misma ecuación, es decir, deben ser equivalentes. Esto significa que una ecuación debe ser un múltiplo de la otra.
Tomemos la primera ecuación y multipliquémosla por 2:
[tex]\[ 2 \cdot (2x + 3y) = 2a \][/tex]
Esto produce:
[tex]\[ 4x + 6y = 2a \][/tex]
Comparando esto con la segunda ecuación original, tenemos:
[tex]\[ 4x + 6y = b \][/tex]
Para que las dos ecuaciones sean esencialmente la misma, los términos constantes también deben ser iguales:
[tex]\[ b = 2a \][/tex]
Entonces, podemos elegir valores específicos. Por ejemplo:
- Si [tex]\( a = 1 \)[/tex], entonces [tex]\( b = 2 \cdot 1 = 2 \)[/tex].
Así, para que el sistema tenga infinitas soluciones:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 2 \)[/tex]
### Caso 2: No tiene Solución
Para que el sistema de ecuaciones no tenga solución, las ecuaciones deben representar líneas paralelas que nunca se intersecan. Esto sucede cuando las razones de los coeficientes de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] son iguales, pero los términos constantes no son iguales.
Sabemos que:
[tex]\[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \][/tex]
[tex]\[ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \][/tex]
Esto significa que las líneas son paralelas porque sus pendientes (razón de los coeficientes de [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex]) son iguales. Para que no haya solución, el término constante de la segunda ecuación no debe ser igual a 2 veces el término constante de la primera ecuación.
Ya vimos que para [tex]\( b = 2a \)[/tex] hay infinitas soluciones. Si queremos que no haya solución, podemos tomar:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b \)[/tex] diferente de [tex]\( 2a \)[/tex], por ejemplo [tex]\( b = 3 \)[/tex].
Así, para que el sistema no tenga solución:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 3 \)[/tex]
### Resumen
1. Infinitas soluciones:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 2 \)[/tex]
2. No tiene solución:
- [tex]\( a = 1 \)[/tex]
- [tex]\( b = 3 \)[/tex]
Estos valores aseguran las condiciones solicitadas para el sistema de ecuaciones.
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