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Sagot :
¡Vamos a resolver el sistema de ecuaciones! El sistema es:
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2x - y = 7 \\ x + 3y = 5 \end{array}\right. \][/tex]
### Método de Igualación o Reducción
Primero, podemos resolver una de las ecuaciones para una variable y sustituir en la otra.
#### Paso 1: Despejar [tex]\( y \)[/tex] de la primera ecuación
De la primera ecuación [tex]\( 2x - y = 7 \)[/tex], despejamos [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2x - y = 7 \implies y = 2x - 7 \][/tex]
#### Paso 2: Sustituir [tex]\( y \)[/tex] en la segunda ecuación
Sustituimos [tex]\( y = 2x - 7 \)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\( x + 3y = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ x + 3(2x - 7) = 5 \][/tex]
#### Paso 3: Resolver la ecuación
Resolvemos la ecuación resultante:
[tex]\[ x + 3(2x - 7) = 5 \implies x + 6x - 21 = 5 \implies 7x - 21 = 5 \][/tex]
[tex]\[ 7x = 5 + 21 \implies 7x = 26 \implies x = \frac{26}{7} \][/tex]
#### Paso 4: Sustituir [tex]\( x \)[/tex] en [tex]\( y = 2x - 7 \)[/tex]
Ahora sustituimos [tex]\( x = \frac{26}{7} \)[/tex] en [tex]\( y = 2x - 7 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2\left(\frac{26}{7}\right) - 7 = \frac{52}{7} - 7 = \frac{52}{7} - \frac{49}{7} = \frac{3}{7} \][/tex]
### Respuesta Final
La solución al sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = \left( \frac{26}{7}, \frac{3}{7} \right) \][/tex]
### Verificación y Tipo de Solución
Usando GeoGebra podemos graficar estas dos ecuaciones para verificar nuestra solución visualmente.
[tex]\[ \begin{cases} 2x - y = 7 \\ x + 3y = 5 \end{cases} \][/tex]
Las gráficas de las dos ecuaciones son líneas rectas, y su intersección representa la solución al sistema. En este caso, las dos líneas se intersecan en el punto [tex]\(\left( \frac{26}{7}, \frac{3}{7} \right)\)[/tex], lo que confirma que la solución es correcta.
#### Tipo de Solución
Este sistema tiene una única solución ya que las dos ecuaciones se intersecan en un solo punto. Por tanto, se llama un sistema compatible determinado.
### GeoGebra
Completado esto, puedes usar GeoGebra para visualizar las gráficas de las ecuaciones, y pegar la imagen aquí para comprobar el punto de intersección.
Tu imagen de GeoGebra iría aquí, mostrando las dos rectas y su punto de intersección en [tex]\(\left( \frac{26}{7}, \frac{3}{7} \right)\)[/tex].
[tex]\[ \left\{\begin{array}{l} 2x - y = 7 \\ x + 3y = 5 \end{array}\right. \][/tex]
### Método de Igualación o Reducción
Primero, podemos resolver una de las ecuaciones para una variable y sustituir en la otra.
#### Paso 1: Despejar [tex]\( y \)[/tex] de la primera ecuación
De la primera ecuación [tex]\( 2x - y = 7 \)[/tex], despejamos [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 2x - y = 7 \implies y = 2x - 7 \][/tex]
#### Paso 2: Sustituir [tex]\( y \)[/tex] en la segunda ecuación
Sustituimos [tex]\( y = 2x - 7 \)[/tex] en la segunda ecuación [tex]\( x + 3y = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ x + 3(2x - 7) = 5 \][/tex]
#### Paso 3: Resolver la ecuación
Resolvemos la ecuación resultante:
[tex]\[ x + 3(2x - 7) = 5 \implies x + 6x - 21 = 5 \implies 7x - 21 = 5 \][/tex]
[tex]\[ 7x = 5 + 21 \implies 7x = 26 \implies x = \frac{26}{7} \][/tex]
#### Paso 4: Sustituir [tex]\( x \)[/tex] en [tex]\( y = 2x - 7 \)[/tex]
Ahora sustituimos [tex]\( x = \frac{26}{7} \)[/tex] en [tex]\( y = 2x - 7 \)[/tex]:
[tex]\[ y = 2\left(\frac{26}{7}\right) - 7 = \frac{52}{7} - 7 = \frac{52}{7} - \frac{49}{7} = \frac{3}{7} \][/tex]
### Respuesta Final
La solución al sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ (x, y) = \left( \frac{26}{7}, \frac{3}{7} \right) \][/tex]
### Verificación y Tipo de Solución
Usando GeoGebra podemos graficar estas dos ecuaciones para verificar nuestra solución visualmente.
[tex]\[ \begin{cases} 2x - y = 7 \\ x + 3y = 5 \end{cases} \][/tex]
Las gráficas de las dos ecuaciones son líneas rectas, y su intersección representa la solución al sistema. En este caso, las dos líneas se intersecan en el punto [tex]\(\left( \frac{26}{7}, \frac{3}{7} \right)\)[/tex], lo que confirma que la solución es correcta.
#### Tipo de Solución
Este sistema tiene una única solución ya que las dos ecuaciones se intersecan en un solo punto. Por tanto, se llama un sistema compatible determinado.
### GeoGebra
Completado esto, puedes usar GeoGebra para visualizar las gráficas de las ecuaciones, y pegar la imagen aquí para comprobar el punto de intersección.
Tu imagen de GeoGebra iría aquí, mostrando las dos rectas y su punto de intersección en [tex]\(\left( \frac{26}{7}, \frac{3}{7} \right)\)[/tex].
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